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逻辑代数的数学抽象表示

前言

逻辑代数又被称为“开关代数”，是分析和设计逻辑电路的数学基础。

在游戏过程中，想必你也看到了，一个逻辑电路，是由输入、输出和中间的一些导线和门器件构成的。如果我们要将电路抽象成数学语言层面的表述，那么这三者可分别被理解为“逻辑变量”，“逻辑函数”和“函数值”（应变量）。

逻辑自变量

一个输入，就是一个逻辑变量，可以用大写英文字母A表示。不同于数学上一般的变量可以任意取值，逻辑变量的取值只能是0或1。

有一定计算机基础的同学一定知道，0代表“假”（False），而1代表“真”（True），在电子电路中，我们用电压的高低来表示输入信号的值。例如，如果输入信号A是高电平（超过3.5伏特），那么A就表示1；如果A是低电平（低于0.25伏特），那么就表示0。

逻辑变量的具体取值可以用等于号表示，如 A = 1，表示A的值为True。

逻辑函数

逻辑函数可以用 f 表示，和数学中的函数一样，它表示了一种映射和对应法则，对于任意的逻辑变量A，经过逻辑函数 f，会得到一个唯一的值 f(A)。

函数值（应变量）

上一段中的 f(A)就是一个函数值，也被称为一个应变量，因为它的值是根据A的值而定的。我们可以给它一个标记为 Y。

数学表示

这样，一个逻辑图就可以被抽象为如下数学表达式：

Y = f(A)

假如我们有多个输入（假设有N个），那么表达式如下：

Y = f(A1, A2, A3, ..., AN)

实际情况下，一个逻辑电路是一定会有多个输入的，那么输出Y就是关于这些输入的多元函数。

如果有多个输出，那么每个输出分别是关于跟自己有关的输入的多元函数。

真值表

上述描述中我们知道，逻辑电路不过就是用来处理Y和A之间的关系的一种工具。为了更加直观地显示Y和A之间的关系，我们用“真值表”的方式表示：

这张表清楚地反映了Y和变量A，B之间的关系，当A和B取值相同时Y为1，否则为0。变量的取值又被称为变量的真值。

逻辑表达式

真值表可以反映Y和变量的关系，但是要想清楚地知道逻辑电路以什么样的方式连接和设计，就必须写出逻辑函数 f 的具体表达式。根据表达式，逻辑变量进行逻辑运算，得到最终输出结果。

一个简单的逻辑表达式如下：

Y = f(A, B) = A + B

A和B表示输入，它们之间产生了某种运算（加法运算），最终得到了输出结果Y

逻辑运算

在这一章，我只介绍三种运算：加法（+），减法（*），和逆运算（~）

我们规定：

（1）两个逻辑变量A和B相加为0，当且仅当A = B = 0

这意味着：1 + 1 = 1，1 + 0 = 1，0 + 1 = 1，0 + 0 = 0

这和数学上的加法相似，不过1 + 1 ≠ 2，而是1，因为逻辑变量（包括自变量和因变量）的取值只能是0或1。

（2）两个逻辑变量A和B相乘为1，当且仅当A = B = 1

这意味着：1 * 1 = 1，1 * 0 = 0，0 * 1 = 0，0 * 0 = 0

这和数学上的乘法是完全一样的。

（3）逆运算（~）就是将变量的值取反，具体地：

若 A = 1，则~A = 0；若 A = 0，则~A = 1。

逻辑运算实际上逻辑门的一种抽象形式，加法、乘法、逆运算分别对应了或门（OR）、与门（AND）和非门（NOT），具体的，我们将在下一章进行解释。

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